Dans le parc
N. Lygeros
Dans le Parc
tu peux voir
l'école
péripatéticienne
en pleine
action
grâce à la présence
des disciples
et du Maître
qui ne se contentent pas
d'admirer la nature
mais pensent
ensemble
avec elle
l'harmonie
du monde à venir
sans oublier
les racines du passé
afin de créer
les ponts du temps
qui lient les îles.
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Sur un étrange théorème
N. Lygeros
Après la promenade dans le Parc de la Tête d’Or, la conversation se porta naturellement sur un théorème qui reliait les posets aux groupes via la notion de groupes. Cet ancien théorème avait un sens naturel mais sa redécouverte avait été à l’origine d’une recherche sur la minimalité de la cardinalité du poset. Il ne suffisait pas d’en trouver un dont les groupes d’automorphismes était isomorphe à un groupe fini donné, leur but était différent. Car la minimalité permettait d’accéder à l’optimalité et celle-ci à une forme de perfection. Aussi ils commencèrent leur recherche avec les groupes cycliques et ils inventèrent la technique de l’introduction d’une triple chaine dans les sommets d’un cycle. Ainsi ils découvrirent le plus petit poset qu’ils pouvaient associer au groupe Z/3Z. Grâce à cette idée une fois généralisée, ils obtinrent l’optimal pour tous les groupes cycliques d’ordre premier. Voilà ce qu’il lui expliqua juste avant de se quitter pour se revoir.
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Une voie de recherche
N. Lygeros
La recherche d’un poset minimal dont le groupe d’automorphisme est isomorphe à un groupe fini donné, représente une ouverture exigeante car même si l’existence est simple, grâce au Théorème de Birkhoff, elle ne donne aucune indication quant à la minimalité de la cardinalité aussi il fallut penser l’ensemble de ce problème de manière radicalement différente. Car même le passage aux groupes alternés n’avait rien d’élémentaire. Leur approche permettait d’obtenir un poset d’ordre 180 au lieu de 3600 du théorème cependant le rapporteur de leur article, leur a indiqué à leur grande surprise qu’il existait un poset d’ordre 106 qui avait la même propriété. Cette information montrait qu’il n’était pas possible d’avoir une approche de simple divisibilité entre les deux ordres. Cela prouvait qu’ils avaient raison et qu’une nouvelle approche était nécessaire. Ainsi une idée simple à la base, s’est transformée peu à peu en une idée plus complexe, fait qui démontrait qu’elle n’avait rien de simpliste. D’où la raison pour laquelle il l’avait mentionné dans cette promenade au Parc de la Tête d’Or.
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